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title: 集合元素性质、关系、子集公式、基本运算 —— 一篇文章带你全方面死磕集合
description: "在高考中，集合一般会占一个选择题或者一个填空，属于送分题型。但是可能避免不了粗心大意，导致错分。因此本篇文章介绍了集合的概念及其性质，以及集合间的基本关系、子集个数、集合的基本运算等内容。"
date: "2025-05-09"
lang: zh
tags:
  - 高考
  - 数学
  - 集合
category: 笔记
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## 一、原文

在全国高考中，本节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考知识点

### 1、集合中元素的性质

确定性，互异性，无序性

### 2、集合间的基本关系

| 关系     | 自然语言                                                                       | 符号语言              |
| -------- | ------------------------------------------------------------------------------ | --------------------- |
| 子集     | 集合 $$A$$ 中的元素都在集合 $$B$$ 中                                           | $$ A \subseteq B $$   |
| 真子集   | 集合 $$A$$ 是集合 $$B$$ 的子集，且集合 $$B$$ 中至少有一个元素不在集合 $$A$$ 中 | $$ A \subsetneqq B $$ |
| 集合相等 | 集合 $$A$$、$$B$$ 中的元素相同或集合 $$A$$、$$B$$ 互为子集                     | $$ A = B $$           |

### 3、子集个数

当 $$n$$ 个元素的集合的子集有 $$2^n$$ 个，非空子集有 $$2^n - 1$$ 个，真子集有 $$2^n - 1$$ 个，非真空子集有 $$2^n - 2(n \geq 1)$$ 个

### 4、集合的基本运算

| 运算 | 自然语言                                               | 符号语言                                                    |
| ---- | ------------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------- |
| 并集 | 由所有属于集合 $$A$$ 或属于集合 $$B$$ 的元素组成的集合 | $$ A \cup B = \{x \mid x \in A$$ 或 $$x \in B\}$$           |
| 交集 | 由属于集合 $$A$$ 且属于集合 $$B$$ 的所有元素组成的集合 | $$ A \cap B = \{x \mid x \in A$$ 且 $$x \in B\}$$           |
| 补集 | 由全体 $$U$$ 中不属于集合 $$A$$ 的所有元素组成的集合   | $$ \complement_U A = \{x \mid x \in U$$ 且 $$x \notin A\}$$ |

## 二、原文深度解析

### 1、概念

集合（set）简称集，是一个基本的 [数学模型]，指 [若干] [不同] [对象] 形成的总体

| 名称     | 解释                                   | 举例                             |
| -------- | -------------------------------------- | -------------------------------- |
| 数学模型 | 是使用数学来将一个系统简化后予以描述   | 概率模型                         |
| 若干     | 表示不定量                             | 零、一、多、无限                 |
| 不同     | 互不相同                               | $$\{\frac{1}{2},0.5\}$$ 不是集合 |
| 对象     | 任何被演绎推理和数学证明正式定义的对象 | 数、集合、函数、表达式、几何形状 |

其他细节：

1. 集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合
2. 若 $$x$$ 是集合 $$A$$ 的元素，记作 $$x\in  A$$
3. 不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合
4. 集合可以包含有限或无限个元素
5. 如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等

### 2、性质

集合 [元素的性质] 有 [确定性]、[互异性]、[无序性]

| 名称       | 解释                                                                                                 | 举例                             |
| ---------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------- |
| 元素的性质 | 元素之间的性质，不是指集合之间                                                                       | 集合没有互异性，两个集合可以相等 |
| 确定性     | 给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现 | 比王俊凯帅的男孩不构成集合       |
| 互异性     | 一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次                                     |
| 无序性     | 一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的                                               |

互异性常考类型：集合相等

已知 $$\{a, \frac{b}{a}, 1\} = \{a^2, a + b, 0\}$$，则 $$a^{2022} + b^{2023} = \_\_\_\_\_\_\_\_$$

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<Draft>
思考方式 1：从待定元素 $$\rightarrow$$ 已知值

1. 当 $$a = a^2$$ 时，$$a = -1$$

   - 当 $$\frac{b}{a} = a + b$$ 时，$$b = \frac{1}{2}$$，此时 $$\{-1, -\frac{1}{2}, 1\} = \{1, -\frac{1}{2}, 0\}$$，不符合题意。
   - 当 $$\frac{b}{a} = 0$$ 时，$$b = 0$$，此时 $$\{-1, 0, 1\} = \{1, -1, 0\}$$，符合题意。

2. 当 $$a = a + b$$ 时，$$b = 0$$，此时 $$\{a, 0, 1\} = \{a^2, a, 0\}$$

   所以 $$a^2 = 1$$ 则 $$a = -1$$，此时 $$\{-1, 0, 1\} = \{1, -1, 0\}$$，符合题意。

3. 当 $$a = 0$$ 时，不符合题意

综上，$$a = -1$$，$$b = 0$$

思考方式 2：从已知值 $$\rightarrow$$ 待定元素

1. 从 $$1$$ 出发

   - 当 $$1 = a^2$$ 时，$$a = -1$$，同上，$$a = -1$$，$$b = 0$$
   - 当 $$1 = a + b$$ 时，此时只能是 $$b = 0$$，$$a = 1$$，不符合题意。

2. 从 $$0$$ 出发

   只能是 $$b = 0$$，此时 $$\{a, 0, 1\} = \{a^2, a, 0\}$$，同上 $$a = -1$$

综上，$$a = -1$$，$$b = 0$$

</Draft>

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对比总结:

- 选取最快的思考方法

  都有两个待定，如果由此进行分类讨论，情况太多，故选择从已知值 $$\rightarrow$$ 待定元素

- 选择最快的进入点

  如果从 $$1$$ 开始，无法立即确定 $$a^2$$ 是 $$1$$ 还是 $$a+b$$ 是 $$1$$，但从 $$0$$ 开始，即可立即确定 $$b=0$$

- 务必验证

  求出参数后，务必验证是否满足互异性

### 3、集合之间的关系

- 空集 $$\varnothing$$

  1. 空集是什么：

     - 年龄大于 $$200$$ 岁的活人
     - 大于 $$3$$ 小于 $$2$$ 的实数
     - 绝对值等于 $$-1$$ 的实数

     以上能构成集合，满足集合的性质，但不包含任何元素

  2. 空集的简单考法

     已知集合 $$ M = \{ x \mid 2m < x < m + 1 \} $$，且 $$ M \in \varnothing $$，则实数 $$ m $$ 的取值范围是：$$\_\_\_\_\_\_\_\_$$

<Draft>
因为 $$ M $$ 是空集，所以 $$ M $$ 中不包含任何元素，即区间下限大于等于区间上限。

$$ 2m > m + 1 $$ 还是 $$ 2m \geq m + 1 $$？

大胆猜想，小心求证：先试一下 $$ 2m = m + 1 \rightarrow m = 1 $$，恰好 $$ m = 1 $$ 符合题意

问取值范围时要用集合来答，即取值范围是 $$ \{ m \mid m \geq 1 \} $$

</Draft>

- 子集

  如果 [集合 $$A$$] 中任意一个元素都属于 [集合 $$B$$] ，则称集合 $$A$$ 是集合 $$B$$ 的子集

  | 名称      | 解释                       | 举例                     |
  | --------- | -------------------------- | ------------------------ |
  | 集合…集合 | 子集的概念是集合与集合之间 | 元素不能是一个集合的子集 |

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## 三、子集个数公式证明

证明：若集合 $$A$$ 含有 $$n$$ 个元素，则 $$A$$ 的子集总个数为 $$f(n)=2^n$$

### 参考视频如下

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<VideoEmbed type="bilibili" id="BV1C64y1z7V5" />

### 证法 1（分类法和递推公式）

第一步：当集合 $$A = \varnothing$$ 时，其子集只有空集，$$f(0)=2^0=1$$，显然公式成立

第二步：当集合 $$A \ne \varnothing $$ 时，设集合 $$A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$$ 含有 $$n$$ 个元素

则集合 $$A$$ 的子集可分为两类

| 分类 | 描述                  | 数学语言                                 |
| ---- | --------------------- | ---------------------------------------- |
| 类 1 | 不含有 $$a_1$$ 的子集 | $$\{a_2, a_3, \dots, a_n\} $$ 的所有子集 |
| 类 2 | 含有 $$a_1$$ 的子集   |

<Draft>
举个例子：若 $$ A = \{1, 2, 3, 4\} $$

则：$$ A $$ 的子集有：$$\{1234\}$$、$$\{123\}$$、$$\{124\}$$、$$\{134\}$$、$$\{234\}$$、$$\{12\}$$、$$\{13\}$$、$$\{14\}$$、$$\{23\}$$、$$\{24\}$$、$$\{34\}$$、$$\{1\}$$、$$\{2\}$$、$$\{3\}$$、$$\{4\}$$、$$\varnothing$$

第一类有：$$\{234\}$$、$$\{23\}$$、$$\{24\}$$、$$\{34\}$$、$$\{2\}$$、$$\{3\}$$、$$\{4\}$$、$$\varnothing$$

第二类有：$$\{1234\}$$、$$\{123\}$$、$$\{124\}$$、$$\{134\}$$、$$\{12\}$$、$$\{13\}$$、$$\{14\}$$、$$\{1\}$$

</Draft>

第一类共有 $$n-1$$ 个元素，所以共有 $$f(n-1)$$ 种子集

第二类可看作第一类每个子集都添加一个元素 $$a_1$$而成，所以第二类子集个数为 $$f(n-1)$$

又由于总子集个数 = 第一类 + 第二类，即

$$f(n) = f(n-1) + f(n-1) = 2f(n-1)$$

重复应用上述递推公式可得

$$f(n) = 2f(n-1) = 2^2f(n-2) = 2^3f(n-3) = \dots = 2^nf(0) = 2^n \cdot 1 = 2^n$$

证毕！

### 证法 2（乘法计数原理）

对于集合 $$A$$ 中任意子集 $$B$$，那么集合 $$A$$ 中元素 $$a_i$$ 要么 $$a_i \in B$$ 要么 $$a_i \notin B$$

根据分步乘法计数原理，从 $$a_1$$ 到 $$a_i$$ 考虑 $$n$$ 步，每一步都有 $$2$$ 种可能的情况，故 $$A$$ 的子集有 $$2^n$$ 个

### 证法 3（数学归纳法）

第一步：当 $$n=0,1$$ 时，$$f(0)=1,f(1)=2$$ 显然公式成立

第二步：假设当 $$n=k$$ 时公式成立，$$f(k)=2^k$$

则当 $$n=k+1$$ 时，可设 $$A = \{a_1, a_2, \dots, a_k, a_{k+1}\}$$

此时 $$A$$ 的子集可分为两类

| 分类 | 描述                      | 子集个数                                        |
| ---- | ------------------------- | ----------------------------------------------- |
| 类 1 | 不含有 $$a_{k+1}$$ 的子集 | $$\{a_1,a_2, \dots , a_k\} $$ 的子集 $$= f(k)$$ |
| 类 2 | 含有 $$a_{k+1}$$ 的子集   | $$f(k)$$                                        |

则 $$f(k+1)=2f(k)=2^{k+1}$$

所以当 $$n=k+1$$ 时，公式成立

最后根据数学归纳法原理可证得公式对于一切非负整数 $$n$$ 都成立

故证毕！

### 证法 4（组合数和二项式定理）

二项式定理：$$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n - 1} b^1 + \ldots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k a^{n - k} b^k$$

当 $$a = b = 1$$ 时，等式变为：$$(1 + 1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n$$

组合数：从 $$n$$ 个不同元素中，不管顺序抽出 $$m$$ 个不同元素，其中组合种数称为组合数：$$C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!}$$

首先，设集合 $$A$$ 的元素个数为 $$n$$，其子集的组成元素个数为 $$k$$。

- 当 $$k = 0$$ 时：$$\varnothing \longrightarrow C_n^0$$
- 当 $$k = 1$$ 时：$$\{a_1\}, \{a_2\}, \ldots, \{a_n\} \longrightarrow C_n^1$$
- 当 $$k = 2$$ 时：$$\{a_1, a_2\}, \{a_1, a_3\}, \{a_1, a_4\}, \ldots \longrightarrow C_n^2$$
- $$\ldots$$
- 当 $$k = n$$ 时：$$\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\} \longrightarrow C_n^n$$

集合 $$A$$ 的子集总个数为：$$C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k = 2^n$$

证毕！

## 四、补充

### 1、常见数集

| 数集     | 符号             | 举例                   |
| -------- | ---------------- | ---------------------- |
| 自然数集 | $$\mathbb{N}$$   | $$0,1,2,3,\ldots$$     |
| 正整数集 | $$\mathbb{N^+}$$ | $$1,2,3,\ldots$$       |
| 整数集   | $$\mathbb{Z}$$   | $$0,1,-1,2,-2,\ldots$$ |
| 有理数集 | $$\mathbb{Q}$$   |
| 实数集   | $$\mathbb{R}$$   | 有理数、无理数         |
| 复数集   | $$\mathbb{C}$$   | $$a + bi$$             |

### 2、集合的表示方法

1. 列举法

   | 举例                                   | 表示                     |
   | -------------------------------------- | ------------------------ |
   | 大于 $$1$$ 小于 $$5$$ 的整数构成的集合 | $$A = \{2,3,4\}$$        |
   | 绝对值小于 $$3$$ 的整数构成的集合      | $$A=\{0,-1,-2,,1,2\}$$   |
   | 所有偶数构成的集合                     | $$A=\{2,4,6,8,\ldots\}$$ |
   | 第一象限所有的点构成的集合             | 无法列举                 |

2. 描述法

   | 举例                                   | 表示                                                                                          |
   | -------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
   | 大于 $$1$$ 小于 $$5$$ 的整数构成的集合 | $$A = \{x \mid 1 < x < 5, x \in \mathbb{Z}\}$$ 或 $$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x < 5\}$$ |
   | 绝对值小于 $$3$$ 的整数构成的集合      | $$A=\{x \mid \lvert x \rvert < 3, x \in \mathbb{Z}\}$$                                        |
   | 所有偶数构成的集合                     | $$A=\{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}$$                                                     |
   | 第一象限所有的点构成的集合             | $$A=\{x \mid x = (x, y), x > 0, y > 0, x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}$$                 |
